פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית בעיגול הנקוב z z < r < ותהי z קוטב מסדר m של.f אז לכל n m נסמן a n = 2πi γ (ξ z n+dξ, כאשר γ ברדיוס ρ סביב < ρ < r,z. אז הטור n m a n(z z m מתכנס ל f(z לכל.a = f(zdz בפרט,.a 2πi γ m וגם < z z < r בעיגול הנקוב z g(z (z z m הוכחה: על פי ההגדרה ש z קוטב מסדר m של f(z = f, כאשר g(z פונקציה אנליטית בעיגול הפתוח z z < r כך ש.g(z לכן ניתן להציג כטור טיילור,f(z = c n(z z n כאשר c n מקדמי טיילור של g סביב n (z z g(z = m ואז n c n(z z n.c n = g(n (z לכן z אז הנקודה n! c n = 2πi γ g(ξ (ξ z n+dξ = 2πi γ (ξ z n m+dξ = a n m, שגורר ש,f(z = n a n m(z z n m = n m a n(z z m כדרוש. דוגמא 5. מצא את טור לורן לפונקציה f(z = sin(z/z 2 סביב =?z ידוע ש = sin(z n לכן sin(z/z 2 = n ( n+ z 2n+ (2n + 3! = z 3! z + 5! z3. ( n z 2n+ (2n+!
פרק 5. טורי חזקות 2 sin z 2 = z 2 z 6 /3! + =. γ sinz מכאן מקבילים כמסקנה ש z 2 dz = 2πia = 2πi. z =/2 n sin(z = אז דוגמא 5.2 חשב dz sin(z 2 ( n z 2n+ (2n+! מכיוון z 2 ( z 4 /3! + = z 2( + z2 g(z 2 = /z 2 + g(z 2, הוא אפס, כלומר האינטגראל הדרוש שווה לאפס. לכן מקדם a בטור לורן של 2 sin(z סביב הנקודה z מתכנס אם שני הטורים הגדרה 5.2 נאמר שטור לורן n= a n(z z m מתכנסים. סכום הטור מוגדר כסכום שני הטורים ו n= a n(z z m n= a n(z z m האלו. משפט 5.2 (משפט לורן תהי f פונקציה אנליטית בעיגול הנקוב z z < r <. לכל n שלם (חויבי, שלילי או אפס נסמן a n = 2πi γ (ξ z n+dξ, כאשר γ ברדיוס ρ סביב < ρ < r,z. אז מתכנס ל f(z כל z בעיגול הנקוב z z < r <. (א הטור n= a n(z z n (ב הפיתוח של f לטור לורן בעיגול הנקודב z z < r < הוא יחיד. הוכחה: (א תהי z נקודה כלשהי בעיגול הנקוב z z < r <. יהיו ρ, ρ 2 כלשהם כך ש < ρ < z z < ρ 2 < r. ויהי γ i המעגל.i =, 2, z z = ρ i על פי נוסחת קושי לעיגול נקוב מתקבל f(z = ( 2πi γ 2 ξ z dξ γ ξ z dξ. 2πi γ 2 ξ z dξ = = n n= N n= ξ z = ξ z z z = ξ z ξ z 2πi ( γ 2 N ( n z z + n= (ξ z n+dξ (z z n + 2πi ( a n (z z n + 2πi γ 2 ( (ξ z N+ (ξ z dξ ξ z γ 2 ( z z אבל מהעובדה ש ξ z N+ z z ξ z, נקבל שמתקיים (ξ z N+ (ξ z dξ (z z N+ (z z N+.
פרק 5. טורי חזקות 3 אבל אז כמור שראינו בהרבה פעמים ניתן להוכיח על פי מספט ההערכה שמתקיים ( lim N 2πi (ξ z N+ (ξ z dξ (z z N+ =. γ 2 מתכנס וגם ולכן בעיגול הנקוב z z < r < הטור n= a n(z z n 2πi γ 2 ξ z dξ = a n (z z n.. כמו קודם ניתן לקבל 2πi מתכנס ל γ dξ כעת נוכיח שהטור ξ z n= a n(z z n ( n 2πi γ ξ z dξ = n= + 2πi 2πi(z z N+ n= (z z n+ (ξ z n+ dξ γ ( (ξ z N+ (z ξdξ γ 2 lim N שוב ממשפט ההערכה ניתן להראות ש (ξ z 2πi(z z N+ N+ (z ξdξ =. γ מתכנס וגם ולכן בעיגול הנקוב z z < r < הטור n= a n(z z n 2πi γ ξ z dξ = a n (z z n, n= כדרוש. שני טורים n= b n(z z n, (ב כעת נוכיח את היחידות. יהיו n= a n(z z n מתכנס לפונקצית שמתכנסים ל f(z בעיגול הנקוב. לכן הטור n= (a n b n (z z n האפס בעיגול הנקוב, כלומר g(z + h(z = n= (a n b n (z z n + (a n b n (z z n =. הפונקציות,g h אנליטיות בעיגול הנקוב ומתקיים = h g. + הפונקציה g(z הוא טור חזקות לכן מתכנס בעיגול z z < r ולכן היא אנליטית בכל העיגול. אם נסמן = ρ(w n (a n b n w n נקבל שהוא מתכנס בתחום w > /r ואז עיגול ההתכנסות שלו אינו חסום לכן ρ היא פונקציה שלמה וגם =.ρ( אז h(z = ρ(/(z z מוגדרת ואנליטית בכל המישור ללא הנקודה z ומתקיים lim z n= h(z = lim ρ(z = ρ( =. z
פרק 5. טורי חזקות 4 אם נגדיר את הפונקציה F(z כ g(z בתחום z z < r וכ h(z בתחום >, z z נקבל ש F מוגדרת היטב כי מתקיים = h g. + לכן F שלמה וגם lim z F(z = lim h(z =. z אז F שלמה וחסומה לכן על פי משפט ליוביל F קבועה, אז = F כלומר a n = b n לכל n שלם. דוגמא 5.3 חשב טור לורן של בטבעת < 2 z <. עתה =.f(z יש סינגולריות ב ו 2 לכן הפונקציה אנליטית ( z(2 z f(z = z 2 z = z( /z 2( z/2 = /z 3 /z 2 /z + /2 + z/4 + z 3 /8 +. אחד השימושים של טור לורן הוא התוצאה הבאה שנובע ממשפט לורן וההגדרות. משפט 5.3 תהי f פונקציה אנליטית בעיגול הנקוב z z < r < ויהי n= a n(z z n טור לורן f(z סביב z. אז (א אם = n a לכל < n אז z נקודה סליקה. (ב אם = n a לכל < m n < וגם m a אז z קוטב מסדר.m לורן מכיל אינסוף חזקות שליליות אז z נקודה סינגולרית עיקרית. (ג אם טור (ד.a = f(zdz 2πi הגדרה 5.3 המקדם של /(z z בטור לורן של f(z z נקודה סינגולרית של (f(z נקרא השארית של f(z ב z ומסומנת על ידי.Res(f; z Ref(f(z; z ולכן השארית = ב z n יש קוטב מסדר f(z = דוגמא 5.4 לפונקציה (z z n לכל > n. כלומר לא כל פונקציה שיש לה שארית ב z אפס היא אנליטית ב z. טענה 5. אם z נקודה סינגולרית של f(z והגבול f(z lim z z קיים וסופי אז lim (z z f(z = Res(f(z; z. z z γ
פרק 5. טורי חזקות 5 הוכחה: אם = f(z lim z z אזל f ישנקודהסינגולריתסליקהב z ולכן= Res(f(z; z. אם f(z lim z z אז z היא קוטב פשוט ולכן f(z = a /(z z + a + a (z z +, אז.lim z z (z z f(z = a = Res(f(z; z z lim zf(z = lim z z e z =, = f(z מתקיים e z דוגמא 5.5 תהי אז =.Res(f(z;
פרק 6 עקרון המקסימום ומשפט השארית משפט 6. תהי f אנליטית בתחום D. אם f אינה קבועה ב D, אז אין ל f מקסימום מקומי ב D. (לפונקציה ρ יש מקסימום מקומי ב D אם יש נקודה a בסביבה S ל a כך ש.(z S D לכל ρ(z ρ(a הוכחה: תהי f אנליטית בתחום D שאינה קבועה ב D. נניח בשלילה כי לפונקציה f יש מקסומים מקומי ב D, ותהי z נקודת המקסימום המקומי של f ב D. מכיוון z D נקודה פנימית, קיים > ǫ כך שהעיגול z z < ǫ מוכל כולו ב D וגם f(z f(z לכל. z z < ǫ כעת יהי < r < ǫ כלשהו, לכן על פי נוסחת קושי מתקיים f(z = f(z dz = 2πi z z =r z z 2πi 2π f(z + re iθ re iθ ire iθ dθ = 2π f(z + re iθ dθ, אז מעבודה ש z + re iθ z = r מתקיים f(z 2π f(z + re iθ dθ 2π f(z dθ = f(z. 2π 2π 2π f(z + re iθ dθ = 2π 2π f(z dθ = f(z ( f(z f(z + re iθ dθ =. לכן כלומר מאחר ש z נקודת מקסימום מקומי של f אז הפונקציה iθ g(θ = f(z f(z + re 2π, אז = g(θ לכל,θ כלומר היא אי שלילית בקטע [2π,] ורציפה וגם = g(θdθ iθ f(z = f(z + re לכל < r < ǫ (ובוודאי ל =.(r אז f(z = f(z לכל. z z < ǫ לכן f אנליטית וקבועה ב, z z < ǫ אז f קבועה בכל D (על פי משפט היחידות, סתירה. 6
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית 7 משפט 6.2 (עקרון המקסימום תהי f פונקציה אנליטית בתחום חסום D ורציפה בסגור של D, אז הערך המקסימלי של f בסגור של D מתקבל בשפה של D. הוכחה: יש לציין ש f רציפה ב D D, סגורה וחסומה, אז ל f יש מקסימום ב D. צריך להראות שיש לפחות אחת מנקודות המקסימום של f ב D על השפה. תהי z נקודת מקסימום של f ב,D אם z D סיימנו. אחרת, z D לכן z נקודה פנימית של D, ואז z נקודה מקסימום מקומי של f ב D, לכן f קבועה ב D. אבל על פי הטענה "שאם שתי פונקציות,f g רציפות ב D ו f = g ב D, אז f = g ב D", נקבל ש f קבועה ב D, סתירה. מסקנה 6. אם f אנליטית בתחום חסום D ורציפה ב D וגם f אינה קבועה ב D, אז כל נקודות המקסימום של f ב D נמצאות על השפה של D. נעיר שאם נתבונן ב f,f(z = z אינה קבועה בתחום < z, ל f יש מינימום מקומי בתחוםזה = z והיאנקודתמינימוםמקומיבעיגול, במליםאחרות,לאמתקייםעקרוןהמינימום המקומי או עקרון המינימום. דוגמא 6. מצא את הערך המקסימאלי של z e על הריבוע שקודקודיו,i+ i,, במישור C. על פי עקרון המקסימום, יש לחפש את המקסימום על שפת הריבוע: max t e+it = e, max t eit =, max t et = e, max t ei+it =, אז ערך המקסימאלי הוא e. 6. תחומי פשוט קשר תחום D נקרא פשוט קשר, אם לכל פוליגון פשוט Γ ב D הפנים של Γ מוכל ב D. למשל, פשוט קשר אינו פשוט קשר פשוט קשר למה 6. תחום חסום הוא פשוט קשר אם ורק אם השפה שלו היא קבוצה קשירה. למה 6.2 אם Γ קו המתאים למסילה סגורה פשוטה, אז הפנים של Γ הוא תחום פשוט קשר.
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית 8 הוכחה: הפנים של Γ תחום חסום ושפת Γ היא קבוצה קשירה, אז על פי למה 6.2 נקבל הדרוש. למה 6.3 עבור D תחום חסום ששפתו היא תמונה של מסילה, אז D פשוט קשר. הוכחה: נובעת ישירות מלמה 6.2. למה 6.4 יהי Γ פוליגון בעל n צלעות, אז קיימים 2 n קונטורים משולשים n 2 T, T 2,...,T המקיימים: א. לכל 2.,n j =, 2,.. כל נקודה בפנים של T j נמצאת בפנים של Γ ובחוץ של T k כאשר.k j ב. כל נקודה בפנים של Γ נמצאת בפנים של אחד ויחיד מהמשולשים T. j ג. לכל 2.,n,j =, 2,.. כל צלע T j מחברת בין קודקודי של,Γ ונמצאת על Γ או מוכלת ב Γ. ד. כל צלע של Γ היא גם צלע של בדיוק אחת מהשולשים T j כאשר 2 n.j =, 2,..., ה. לכל צלע של איזשהו T j שאינה צלע של Γ קיים k j יחיד כך שבקונטור T k מופיעה אותה צלע בכיוון המנוגד. למשל, T T 3 T 4 T 5 T 2 משפט 6.3 (קושי לפוליגונים פשוטים יהי D תחום פשוט קשר, תהי f אנליטית ב D ויהי Γ פוליגון פשוט ב,D אז = f. Γ הוכחה: נסמן n מספר צלעות של Γ, אם = 3 n אז Γ הוא קונטור משולשי ולכן המשפט מתקיים על פי משפט קושי לקונטורים משולשים. לכן נניח ש > 3 n, אז נפרק את Γ בצורה T j לכל 2 n j =, 2,..., על פי הברה n 2 T, T 2,..., T לפי למה 6.4 ואז מתקיים = f משפט קושי לקונטורים משולשים. מכיוון ש n 2 Γ = T +T 2 + +T נקבל = f Γ, כדרוש. ובאותה מגמה כפי שעשינו לתחומים כוכבים נקבל את המשפט הבא. משפט 6.4 (קושי לתחומים פשוטי קשר יהי D תחום פשוט קשר, אז עבור כל f אנליטית ב D ולכל קונטור סגור Γ ב D מתקיים = f. Γ
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית 9 6.2 משפט השארית למה 6.5 תהי f פונקציה שמוגדרת בתחום D ובו מסילה.γ יהיו γ, γ 2,...,γ n מסילות של מעגלים של γ, אז n f(zdz = f(zdz. γ γ i i= משפט 6.5 יהי D תחום פשוט קשר, יהיו z, z 2,...,z n נקודות ב.D תהי f פונקציה אנליטית ב } n.d\{z,...,z יהי γ קונטור סגור פשוט ב D שאינו עבור דרך z,...,z n והנמצאים בפנים שלו. אז n f(zdz = 2πi Res(f(z; z j. γ j= f(zdz = γ j הוכחה: על פי הלמה, אם γ i הוא עיגול קטן סביב z i ברדיוס r i נקבל ש = = γ f(zdz = n j= γ j f(zdz. טור לורן של f(z סביב הנקודה z. j אז יהי n= c(j n (z z j n n= γ j n= 2π c (j n n= ir n+ j c (j n (z z j n dz = 2π r n j eniθ ir j e iθ dθ e i(n+θ dθ. n= c (j n (z z j n dz γ j 2π שווה לאפס לכל n וגם שווה ל 2π כאשר = n, אז מתקיים מכיוון ש e i(n+θ dθ f(zdz = 2πic (j = 2πiRes(f(z; z j. γ j γ f(zdz = 2πi n, כדרוש. ומכאן j j= Res(f(z; z, sinz נקבל שהאינטגראל z 4 דוגמא 6.2 למשל, חשב האינטגראל sin zdz? z =/2 z 4 = z 3 3! z + z sinz מכיוון טור לורל של הפונקציה הוא + 5! z 4 שווה ל.2πi = πi 3! 3
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית :z סביב = ez (z n e z דוגמא 6.3 עוד דוגמא, חשב את I? = dz z =2 (z n z e. e על פי טור לורן של שם לב ש I שווה ל dz z =2 (z n e z (z = n (z n j! (z j, j.i = e 2πi (n! = 2πei (n! נובע ש 3+z I = כשאר Γ אליפסה סביב הראשית שעוברת ב דוגמא 6.4 חשב את dz Γ (z (z 2(z+4?3, 2i, 3, 2i האליפסה מכילה שתי נקודות סינגולריות,, 2 וגם 4/5 = Res(f; ו = 5/6 2,Res(f; 5 אז.I = 2πi( 4/5 + 5/6 = πi דוגמא 6.5 חשב את I = dz כשאר Γ הוא שרושור המסילה של חצי מעגל עליון מ 2 ל Γ z 4 + 2i ל 2, והמסילה של הישר מ 2 ל 2?.n כאשר =,, 2, 3 e יש ארבעה קטבים פשוטים בנקודות iπn/4 f(z = z3 לפונקציה z 4 + בפנים של המסילה Γ מכיל רק שתי נקודות מהנקודות האלו, 3πi/4 e πi/4, e ומתקיים Res(f; e iπ/4 (z e πi/4 z 3 = lim = z e πi/4 z 4 + 4, Res(f; e 3iπ/4 (z e 3πi/4 z 3 = lim = z e 3πi/4 z 4 + 4, z 3 לכן על פי משפט השארית מתקיים.I = 2πi(/4 + /4 = πi נעיר שאם z הוא קוטב מסדר m של הפונקציה f, אז השארית ניתנת לחישוב על ידי הנוסחא: Res(f; z = (m! lim z z (f(z(z z m (m. משפט 6.6 יהיו,P Q שני פולינומים כך של Q אין אפסים על הציר הממשי וגם 2 + P deg.deg Q אזי P(t P(z dt = lim dz = 2πiS, Q(t r Γ r Q(z כאשר S שווה לסכום השאריות של P(z בקטבים הנמצאים בחצי המישור העליון, ו Γ r המסילה Q(z r ri d r r הבאה:
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית הוכחה: מכיוון ש P(z ישמספר סופי של קטבים (אין ל Q אפסים על ציר הממשיו r מספיק Q(z P(z. ולכן Γ r גדול אזי על פי משפט השארית dz = 2πiS Q(z 2πiS = r r P(z Q(z dz + P(z d r Q(z dz, d r. אורכו P(z כאשר d r הוא הרכיה של המסילה של חצי המעגל. מספיק להוכיח ש = dz Q(z של חצי המעגל הוא,πr יהי P(z = a m z m + + a ו Q(z = b n z n + + b אז 2 m.p = n אזי > z d P(z Q(z P Q = z pa m + + a z m b n + + b z n, P lim z Q = lim z pa m. z b n a m b n z d P(z Q(z ( + a m b n z d P(z d r Q(z dz ( + a m b n = 2πi (4 + z 2! 2z (z + 2i 2z2 2 (z + 2i 3 z d P(z Q(z a m, ( + b n לכן לכן קיים z r r שגורר ש a m b n r 2. ולכן על פי משפט ההערכה מתקיים πr, אשר משלים את ההוכחה..I = t 2 דוגמא 6.6 חשב את האינטגראל dt (4+t 2 2 תנאי המשפט הקודם מתקיימים ויש שני קטבים מסדר 2: 2i,2i ורק אחד נמצא בחצי העליון של המישור והוא 2i. לכן ( z 2 d z 2 I = 2πiRes 2; 2i lim z 2i dz (z + 2i 2 = 2πi lim = 2πi z 2i ( 4i (4i 2 8 (4i 3 = 2πi( i + i/8 = 7π/4.
פרק 6. עקרון המקסימום ומשפט השארית 2 משפט 6.7 יהיו,P Q שני פולינומים כך של Q אין אפסים על הציר הממשי וגם + P deg.deg Q אזי עבור כך > β מתקיים P(t P(t cos(βtdt = R(2πiS, sin(βtdt = I(2πiS Q(t Q(t כאשר S שווה לסכום השאריות של P(zeiβz בקטבים הנמצאים בחצי העליון של המישור. Q(z הוכחה: דומה מאוד להוכחת המשפט הקודם עם שימוש בטענה אם f m אז f(ze iβz dz mπ d r β. תשלמים את ההוכחה בבית!! d r e iβz על פי משפט ההערכה וגם dz π βr.i = 3i הקוטב היחיד של הפונקציה בחצי המישור העליון הוא.f(z = zeiz z 2 +9 tsin t דוגמא 6.7 חשב את האינטגראל dt t 2 +9 נגדיר את הפונקציה ואז מתקיים 3 /2e.Res(f; 3i = לכן.I = I(2πi/2e 3 = π e 3